Το παράδοξο των γενεθλίων
Σκεφτείτε πως έχετε σε ένα δωμάτιο μια ομάδα ατόμων και κάνετε μια δημοσκόπηση για την ημερομηνία των γενεθλίων τους. Όπως περιμένει κανείς, όσο περισσότερα είναι τα άτομα αυτά, τόσο μεγαλύτερη είναι η πιθανότητα να συμπίπτουν οι ημερομηνίες γενεθλίων για δύο από αυτά. Θα περίμενε όμως κανείς ότι η πιθανότητα αυτή ξεπερνάει το 50% για 23 άτομα, ενώ για 57 γίνεται πάνω από 99%;
Χωρίς να μπλέξουμε (ακόμα!) με πολύπλοκους μαθηματικούς τύπους, ας ρωτήσουμε ένα προς ένα τα 23 άτομα του δωματίου μας.
Το πρώτο άτομο που ρωτάμε θα μας δώσει μια συγκεκριμένη ημερομηνία, από τις 365 πιθανές που έχει ένας χρόνος (προς το παρόν δε μελετάμε τα δίσεκτα έτη!).
Το δεύτερο άτομο, αν μας δώσει μια διαφορετική ημερομηνία, αυτή θα πρέπει να είναι μέσα στα 364 ενδεχόμενα που …περίσσεψαν από το πρώτο άτομο.
Για το τρίτο άτομο, υπάρχουν 363 ενδεχόμενα, κ.ο.κ.
Αν δούμε τώρα τις πιθανότητες να μη συμπίπτουν οι ημερομηνίες γενεθλίων, για το δεύτερο άτομο είναι 364/365 (ο λόγος των δυνατών ενδεχομένων για να μην συμπίπτουν οι ημερομηνίες), για το τρίτο είναι 363/365, κ.ο.κ.
Αυτό σημαίνει, σύμφωνα με τον ορισμό των πιθανοτήτων, ότι η πιθανότητα να συμβαίνει το αντίθετο από αυτό, δηλαδή να συμπίπτουν τα γενέθλια είναι για το δεύτερο άτομο 1-364/365, για το τρίτο 1-363/365, κ.ο.κ.
Ενδεικτικά θα αναφέρουμε ότι στην πρώτη περίπτωση, η πιθανότητα να συμπίπτουν οι ημερομηνίες δύο ατόμων είναι μικρότερη από 0,3%, ενώ στα τρία άτομα ανεβαίνει στο …ιλιγγιώδες 0,5%.
Πώς, λοιπόν, φτάνουμε στο 50,7%; Αν γνωρίζουμε την πιθανότητα να συμβαίνουν κάποια ανεξάρτητα ενδεχόμενα μεμονωμένα, μπορούμε να βρούμε την πιθανότητα να συμβαίνουν παράλληλα, αν πολλαπλασιάσουμε τις πιθανότητες για καθένα από αυτά. Οπότε σύμφωνα με τον τύπο
η συνδυασμένη πιθανότητα για 10 άτομα γίνεται 12%, για 20 γίνεται 41%, ενώ για 23 φτάνει στο 50,7%!
Αυτό σημαίνει ότι αν έχουμε πολλά (θεωρητικά άπειρα) δωμάτια και στο καθένα από αυτά υπάρχουν τουλάχιστον 23 άτομα, τουλάχιστον στα μισά από αυτά θα έχουμε δύο άτομα με την ίδια ημερομηνία γενεθλίων
